Тема: Основні задачі математичної фізики. Лекція №1 План Приклади фізичних процесів, що приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних. Приклади постановок таких задач. Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних. Рівняння коливань струни. Розв’язок задачі Коші методом Даламбера Питання для самоконтролю. Лекція №1. В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики? Від чого залежить розв’язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку? Приклади рівнянь еліптичного типу. Як називається і до якого типу належить рівняння:
? В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни? Записати формулу Даламбера, яка дає розв’язок одномірного однорідного хвильового рівняння. Література: А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954. Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972. П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальные главы”, Киев, 1981. О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986. П.Е.Данко, А.Г.Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, ч.2, Москва, 1974. Лекція №1. Тема: Основні задачі математичної фізики. В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних. Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики. Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку:
де аij, bi, c – задані функції змінних х1, х2, …, х3 (n (2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det(|| alk|| - (E)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде: d11dy2-2a12dxdy+a22dx2=0. Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками. Це характеристичне рівняння можна записати й так
Якщо а12-а11а22>0, то інтеграли характеристичного рівняння ((х,у)=С1 і ((х,у)=С2 дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип. Якщо
, то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу. І якщо
, то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу. До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д. Найпростішим з них є хвильове рівняння
, відкрите Ейлером у 1759році. Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д. Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур’є:
До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння (U=0 (Лапласа); (U=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: (U+kU=0, і полігармонійні рівняння. В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид:
рівняння теплопровідності з трьома незале...